🔹 Step 1. (가) 조건: 절댓값이 같은 항 → 수식화

등차수열에서

\( a_n = -45 + (n – 1)d \)

조건 (가):

\( |a_m| = |a_{m+3}| \Rightarrow a_{m+3} = \pm a_m \)

이 중 \( a_{m+3} = a_m \)이면 \( 3d = 0 \)이므로 \( d = 0 \), 자연수 아님 → 제외

따라서,

\( a_{m+3} = -a_m \Rightarrow a_{m+3} + a_m = 0 \)

\( a_{m+3} = -45 + (m+2)d,\quad a_m = -45 + (m-1)d \)

\( (-45 + (m+2)d) + (-45 + (m-1)d) = 0 \Rightarrow -90 + (2m + 1)d = 0 \Rightarrow d(2m + 1) = 90 \)

🔹 Step 2. (나) 조건: 부분합이 항상 -100 초과

수열의 부분합 공식:

\( S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)

여기서 \( a_n = -45 + (n – 1)d \), 따라서:

\( S_n = \frac{n}{2}\left(-45 + (-45 + (n-1)d)\right) = \frac{n}{2}(-90 + (n-1)d) \)

조건 (나):

\( \forall n \in \mathbb{N},\quad S_n > -100 \)

이 부등식을 일반 \( n \)에 대해 풀기 어렵다면, 최소 몇 개의 \( n \)에 대해서 테스트해서 절대 위배되지 않는 \( d \)만 남기는 것이 시험장에서의 연역적 전략이다.

즉, \( d \)는 90의 약수이다. 이로부터 가능한 \( d \)는:

\( \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90\} \)

👉 이 12개의 \( d \) 후보는 조건 (가)를 만족한다.