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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

정수 수열 \( \{a_n\} \)이 다음 조건을 만족함:
(가) \( a_{n+1} = \begin{cases}
a_n – 3 & (|a_n| \text{ 홀수}) \\
\frac{1}{2}a_n & (|a_n| \text{ 짝수 또는 0})
\end{cases} \)
(나) \( |a_m| = |a_{m+2}| \) 를 만족하는 최소의 자연수 \( m = 3 \)

이때 \( |a_1| \)의 값의 총합은?

모든 가능한 \( a_1 \)을 설정해보며, 조건 (나)를 만족하는 경우만 남겨서 그 절댓값의 총합을 구합니다.

  1. \( m = 3 \)일 때 \( |a_3| = |a_5| \)가 되어야 하므로 \( a_3 \)부터 가능한 값들을 대입해 추론.
  2. \( a_3 = \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \) 등 테스트
  3. 각 \( a_3 \)값에 대해 \( a_4, a_5 \)를 귀납적으로 계산 후, 다시 \( a_2, a_1 \) 유도
  4. 이 과정에서 조건 (나)와 일치하는 \( a_1 \)들을 모두 수집

✅ 조건을 만족하는 \( |a_1| \): 6, 10, 7, 8, 9, 24
✅ 총합: \( \boxed{64} \)

  • ✅ Tip: 조건에서 특정 항 간 관계 주어지면, 거꾸로 추론 또는 케이스 분류 필수
  • ✅ Skill: 귀납 수열 추론, 절댓값 조건 적용, 대입 확인