2025-11-14 – studycraft

Action

사인법칙, 원주각과 중심각, 이등변삼각형, abc/(4R)

\( \angle D \)를 기준으로 \( AD:DB = 3:2 \)인 점 \( D \)를 잡고, \( A \)를 중심으로 원을 그려 \( AC \)와 교차하는 점 \( E \), 그 원을 \( O \)라 한다.

\( \sin A : \sin C = 8:5 \), \( \triangle ADE : \triangle ABC = 9:35 \), 외접원의 반지름 길이는 7이다.

원 \( O \) 위의 점 \( P \)에 대해 \( \triangle PBC \)의 넓이가 최대가 되는 경우의 넓이를 구하라.

넓이 최대화를 위한 조건을 분석하여, 최댓값을 구하는 것이 목표.

\( AD = AE = r \), \( DB = \frac{2}{3}r \), \( CE = x \)
면적비: \( \frac{1}{2}r^2 \sin A : \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3}r(r + x) \sin A = 9 : 35 \Rightarrow 3r + 3x = 7r \Rightarrow x = \frac{4}{3}r \)
\( \overline{AB} = \frac{5}{3}r \), \( \overline{BC} = \frac{5}{3}r \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{3}r \)
\( \cos \angle ACB = \frac{11}{14} \Rightarrow \sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{14} \)
\( \frac{\overline{AB}}{\sin \theta} = 2R \), \( R = 7 \Rightarrow r = 3\sqrt{3} \)
\( AH = \frac{7}{3}r \cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} = \frac{15}{2} \)
\( QH = r + AH = 3\sqrt{3} + \frac{15}{2} \)
넓이: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}r \cdot 3\sqrt{3} \cdot \left( 3\sqrt{3} + \frac{15}{2} \right) = 36 + 30\sqrt{3} \)

✅ 정답: ④ \( 36 + 30\sqrt{3} \)