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Action

등차수열은 직선이다, 첫째항에 집착하지 말자

두 수열 \( a_n \), \( b_n \)이 각각

\( a_1 = 2 \), \( b_1 = 2 \)인 등차수열이며, 다음 조건을 만족:

\( \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_{k+1}} = \frac{1}{2}n^2 \)

위 조건을 만족시키는 \( a_k \)의 일반항을 구한 후,

\( \sum_{k=1}^5 a_k \)의 값을 구하라.

  • \( \frac{a_1}{b_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a_1 = 2 \Rightarrow b_2 = 4 \)
  • \( b_n = 2n \) (등차수열)
  • \( \frac{a_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{2}n^2 – \frac{1}{2}(n-1)^2 = n – \frac{1}{2} \)
  • \( b_{n+1} = 2(n+1) \Rightarrow a_n = 2(n+1)\left(n – \frac{1}{2}\right) = 2n^2 + n – 1 \quad (n \geq 2) \)
  • \( a_1 = 2, a_2 = 9, a_3 = 18,_

✅ 정답: ① \(120\)

  • 🧠 Skill: 수열의 일반항 유도, 시그마 공식 사용, 대입 계산
  • 💡 Tip: 점화식 유도와 등차수열 성질을 연계해서 활용할 수 있어야 함.