을 만족하는 실수 \( k \)의 개수가 1이 되도록 하는 자연수 \( (a, b) \) 쌍 중 \( a + b \)의 최댓값은?
함수 그래프와 수평선 \( y = t \)의 교점 개수를 고려하여, 조건을 만족하는 \( a, b \) 값을 찾는다.
\( x \le 2 \) 구간: 삼차함수 도함수 계산 → 극소점 \( -1 \), 극대점 \( 1 \), 양끝값 계산
→ \( f(x) \)의 범위: \([ -3, 5 ]\)
\( x > 2 \) 구간: 이차함수 \( a(x – 2)(x – b) + 9 \)
– \( x = 2 \), \( x = b \)에서 9를 지나고 아래로 볼록
– 대칭축: \( x = \frac{2 + b}{2} = 1 + \frac{b}{2} \)
– 극솟값 \( m = f\left(1 + \frac{b}{2}\right) = -3 \)일 때 기준
– 이때 \( k = -3 \)이 유일한 해가 되도록 설정해야 함
극솟값 계산 조건: \( a(b – 2)^2 = 48 \)
이 조건을 만족하는 자연수 쌍 \( (a, b) \) 중 최대 \( a + b \)는:
→ 가능한 경우: \( (48, 3), (12, 4), (3, 6) \)
→ 이 중 \( a + b \) 최대는 51
정답: ① \( 51 \)
Tip: 교점의 개수라는 함수형 조건은 함수값과 좌우 극한이 같아지는 지점의 해석이 핵심이다.