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Action

사인법칙, 원주각과 중심각, 이등변삼각형, abc/(4R)

사각형 ABCD에서 \( \angle BAC = \frac{\pi}{3} \), \( \overline{AB} = 3 \), \( \overline{BC} = \sqrt{13} \), \( \overline{AD} \times \overline{CD} = 9 \),

\( S_2 = \frac{5}{6} S_1 \)일 때,

\( \frac{R}{\sin(\angle ADC)} \)의 값을 구하라.

(\( R \)은 \( \triangle ACD \)의 외접원의 반지름)

삼각형의 넓이, 사인법칙을 사용해 \( R \)과 \( \sin(\angle ADC) \)를 구하고, 이를 이용해 주어진 비율을 계산한다.

  1. 코사인 법칙으로 \( AC = 4 \) 구함
    \( (\sqrt{13})^2 = 3^2 + a^2 – 2 \cdot 3 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow a = 4 \)
  2. \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3} \)
  3. \( S_2 = \frac{5}{6} S_1 = \frac{5}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \)
  4. \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sin(\angle ADC) \Rightarrow \sin(\angle ADC) = \frac{5\sqrt{3}}{9} \)
  5. 사인법칙: \( \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R \Rightarrow \frac{4}{\frac{5\sqrt{3}}{9}} = 2R \Rightarrow R = \frac{6\sqrt{3}}{5} \)
  6. 따라서 \( \frac{R}{\sin(\angle ADC)} = \frac{6\sqrt{3}/5}{5\sqrt{3}/9} = \frac{54}{25} \)
  • 정답: ① \( \frac{54}{25} \)
  • Tip: 넓이 관계식을 통해 \( \sin(\angle) \)을 역으로 구하고 사인법칙을 활용하자.
  • Skill: 코사인 법칙, 삼각형 넓이 공식, 사인법칙 변형