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Action

등차수열은 직선이다, 첫째항에 집착하지 말자

공차가 0이 아닌 등차수열 \( \{a_n\} \)에 대해

  • \( |a_6| = a_8 \)
  • \( \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{5}{96} \)

일 때, \( \sum_{k=1}^{15} a_k \) 값을 구하라.

수열의 항 간 관계 및 주어진 등식들을 활용하여 첫째항과 공차를 구하고, 15개 항의 합을 계산한다.

  1. \( |a_6| = a_8 \Rightarrow a_6 = -a_8 \) (공차가 0이 아님)
  2. \( a_6 + a_8 = 0 \Rightarrow a_6 < 0, a_8 > 0 \Rightarrow \) 공차 \( d \)는 양수
  3. \( a_6 = a_1 + 5d, \quad a_8 = a_1 + 7d \Rightarrow a_1 + 5d + a_1 + 7d = 0 \Rightarrow 2a_1 + 12d = 0 \Rightarrow a_1 = -6d \)
  4. \( \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} – \frac{1}{a_6} \right) \)
  5. 대입: \( a_1 = -6d \Rightarrow \frac{1}{d} \left( \frac{1}{-6d} – \frac{1}{-a_1 – 5d} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{-6d} – \frac{1}{-(-6d + 5d)} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{-6d} – \frac{1}{d} \right) \)
  6. \( \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{5}{96} \Rightarrow \frac{5}{a_1 (a_1 + 5d)} = \frac{5}{96} \)
  7. 대입: \( a_1 = -6d \Rightarrow \frac{5}{-6d \cdot (-6d + 5d)} = \frac{5}{96} \Rightarrow 30d^2 = 96 \Rightarrow d^2 = 16 \Rightarrow d = 4 \)
  8. \( a_1 = -24 \)
  9. 등차수열 합: \( S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d) = \frac{15}{2}(-48 + 56) = \frac{15}{2} \cdot 8 = 60 \)
  • 정답: ① 60
  • Tip: 절댓값 조건은 부등식 또는 부호의 반영을 통해 등호를 활용한 대입식으로 풀 수 있다.
  • Skill: 등차수열의 일반항 \( a_n = a_1 + (n-1)d \), 수열 항의 곱 역수합 구조 해석, 등차수열의 합 공식 활용