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Action

삼차함수의 개형, 기하적 성질, 변곡점, 수식적 표현

최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)f(x)f(x)와 연속 함수 g(x)g(x)g(x)에 대해 다음 조건을 만족시킬 때 f(4)f(4)f(4)의 값을 구하는 문제:

  • (가) 평균값정리 기반:
    \( f(x) = f(1) + (x – 1)f'(g(x)) \)
  • (나) \( g(x) \)의 최소값은 \( \frac{5}{2} \)
  • (다) \( f(0) = -3 \), \( f(g(1)) = 6 \)
  • \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx – 3 \) 라고 놓고, 미지수 \( a, b \)를 구해 나감.
  • 평균값정리의 형태에서 도함수로 이어지는 조건을 도출하고, 조건 (나), (다)를 활용하여 연립방정식을 통해 상수 결정
  1. 조건 (가): 평균값정리 구조
    \( f'(g(x)) = \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} \Rightarrow \) 우변 극한으로 정의된 도함수와 좌변을 연결
  2. 조건 (나): \( g(x) \) 최소값이 \( \frac{5}{2} \)
    → 점 \( \left( \frac{5}{2}, f\left( \frac{5}{2} \right) \right) \)를 지나는 접선의 기울기가 \( f'(g(x)) \)와 같음
    → 접선이 \( x = 1 \)을 지나므로 접선 방정식과 대입 조건을 이용하여 관계식 도출
  3. 조건 (다): \( f(g(1)) = 6 \Rightarrow g(1) = 3 \) 대입하여 \( f(3) = 6 \)
  4. 위 조건을 기반으로 수식을 풀면:
    – \( a = -6 \), \( b = 12 \)
    – \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 12x – 3 \)
    – \( f(4) = 64 – 96 + 48 – 3 = 13 \)
  • 정답: 13
  • Tip:
    • 평균값정리 형태는 미분과 접선 개념의 연결
    • 도함수의 극한과 실제 값의 일치 조건 활용
    • 함수의 형태를 놓고 미지수를 정하는 유형은 대표적 고난도
  • Skill:
    • 다항함수 설정 및 도함수 계산
    • 함수 조건 대입 및 정리
    • 극한과 연속성 해석