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Action

일차원 운동, 속도-시간 그래프가 핵심

점 P의 속도 함수 \( v(t) \) 와 가속도 \( a(t) \) 가 구간에 따라 나뉘어 주어진다.

\( t = 0 \)에서 \( t = 3 \)까지 이동한 거리(절댓값 포함)를 구해야 함.

  1. 구간 나눠서 속도 \( v(t) \) 정의
  2. \( t = 2 \) 이상 구간은 가속도 함수 \( a(t) = 6t + 4 \) 를 적분하여 \( v(t) \) 유도
  3. 두 구간에서 각각 속도를 절댓값 기준으로 적분하여 총 이동 거리 계산
  1. \( 0 \le t \le 2 \): \( v(t) = 2t^3 – 8t \)
    • 정적분: \( \int_0^2 |v(t)| dt = -\int_0^2 v(t) dt \), 왜냐하면 음수 → 뒤집음
  2. \( t \ge 2 \):
    • \( a(t) = 6t + 4 \Rightarrow v(t) = \int a(t) dt = 3t^2 + 4t + C \)
    • \( v(2) = 0 \Rightarrow C = -20 \)
    • \( v(t) = 3t^2 + 4t – 20 \) (for \( t \ge 2 \))
  3. 거리 계산:
    \( \int_0^3 |v(t)| dt = \int_0^2 (-v(t)) dt + \int_2^3 v(t) dt \)
    \( \Rightarrow -\int_0^2 (2t^3 – 8t) dt + \int_2^3 (3t^2 + 4t – 20) dt \)
    \( \Rightarrow 8 + 9 = 17 \)
  • 정답: 17
  • Tip:
    • 속도→거리 변환 시 반드시 절댓값을 고려해야 함.
    • 가속도를 적분하여 속도를 구하고, 정해진 초기 조건으로 상수 보정
  • Skill:
    • 정적분 및 부정적분 능력
    • 구간 나누기와 절댓값 반영
    • 초기조건을 이용한 적분상수 결정