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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

초항 \( a_7 = 40 \) 이고, 수열 \( \{a_n\} \) 이 다음 조건에 따라 귀납적으로 정의됨:

  • 만약 \( n+1 \equiv 0 \pmod{3} \) 이면: \( a_{n+2} = \frac{1}{3} a_{n+1} \)
  • 그렇지 않으면: \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n \)

\( a_9 \) 의 최대값 \( M \) 과 최소값 \( m \) 을 구한 뒤, \( M + m \) 의 값을 구하는 문제.<_

역으로 \( a_6, a_5, \ldots \) 를 여러 가지 가정으로 설정하고, 각각의 경우에 대해 \( a_9 \) 을 계산하여 최댓값과 최솟값을 비교한다.

  • 조건을 만족하는 수열 규칙에 따라 \( a_8, a_9 \) 를 계산
  • 다양한 초기값 가정을 통해 경우의 수를 분기
  • 세 가지 가정:
    • ① \( a_6 = 120 \) (즉, \( a_6 = 3 \times a_7 \)) → \( a_8 = 160, a_9 = 200 \)
    • ② \( a_6 = 38 \) → \( a_8 = 78, a_9 = 118 \)
    • ③ \( a_6 = 36 \) → \( a_8 = 76, a_9 = 24 \)
  • 정답: ⑤ 224 (최댓값 200 + 최솟값 24)
  • Tip: 조건 분기형 귀납 수열은 각 경우에 대해 정밀한 계산이 필요
  • Skill:
    • 귀납 수열 계산 능력
    • 모듈러 연산 기반 조건 분기
    • 다양한 초기조건 설정을 통한 경우 분석