.

Action

그림을 그리자

주어진 함수 \( f(x) = a – \sqrt{3} \tan 2x \) 가 구간 \( \left[ -\frac{\pi}{6}, b \right] \) 에서 최댓값 7, 최솟값 3을 가질 때, 상수 \( a, b \) 에 대해 \( a \times b \) 의 값을 구하는 문제.

주기함수 성질 및 주어진 최대/최소값 조건을 이용하여 \( a \) 와 \( b \) 를 구하고, 그 곱 \( a \times b \) 의 값을 계산해야 한다.

  • 주기 확인: \( f(x) \) 는 탄젠트 함수의 변형으로, 주기는 \( \frac{\pi}{2} \) 이다.
  • 최댓값 조건: \( f(x) = 7 \) at \( x = -\frac{\pi}{6} \)
  • 최솟값 조건: \( f(x) = 3 \) at \( x = b \)
  • 함수식 대입:
    • \( f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = a – \sqrt{3} \tan\left( -\frac{\pi}{3} \right) = a + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = a + 3 = 7 \Rightarrow a = 4 \)
    • \( f(b) = 3 \Rightarrow 4 – \sqrt{3} \tan 2b = 3 \Rightarrow \tan 2b = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2b = \frac{\pi}{6} \Rightarrow b = \frac{\pi}{12} \)
  • 최종적으로 \( a = 4 \), \( b = \frac{\pi}{12} \), 따라서 \( a \times b = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \)
  • 정답: \( \frac{\pi}{3} \)
  • Tip: 탄젠트 함수의 성질을 활용할 때는 주기를 먼저 파악하고, 극댓값과 극솟값 조건에 맞는 \( x \) 값을 적절히 설정해야 함.
  • Skill:
    • 삼각함수 최대/최솟값 조건을 활용한 역산
    • 주기 함수 범위 내 함수값의 감소/증가 특성 이해
    • \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = \frac{\pi}{6} \) 등의 기본 삼각함수 값 숙지