Action
등차수열 \(\{a_n\}\)에서
\(\sum_{k=1}^{15} (a_k + a_{k+1}) = 2 \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = 2\)
\(a_1 = aa_1 = a\)일 때 \(a_4 \cdot a_4\) 값을 구하라.
등차수열 구조로 항을 설정하고, 유리화 및 망원합(telescoping sum)을 이용해 \(a\)를 구하고, \(a_4 \cdot a_4\)를 계산
등차수열: \(a_n = a + (n-1)d\)
\(\Rightarrow a_n = aa_n = a\)
유리화 및 망원합 구조:
\(k=1 \leq 15, a_k + a_{k+1} = k=1 \leq 15, a(a_k + a_{k+1}) = a_1 (16a – a) = a(16a – a) = 3a = 2 \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a} (\sqrt{16a} – \sqrt{a}) = \frac{3 (\sqrt{a})}{a} = 2\)
9a = 4 \(\Rightarrow\) 9a = 4 \(\Rightarrow\) a = \(\frac{4}{9}\)
\(\Rightarrow a_4 = a + 3a = \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow a_4 \cdot a_4 = \left(\frac{16}{9}\right)^2 = \boxed{9}\)