.

Action

삼각함수 기본

곡선 \( y = x^3 – x + 2 \) 외부 점 (0, 4)에서 이 곡선 위의 한 점을 지나며 그은 접선의 x절편은?

곡선의 일반접선식을 세우고 외부점을 통과하도록 한 뒤, 그 직선의 x절편을 구한다.

  1. 곡선 위의 점: \( (t, t^3 – t + 2) \)
  2. 접선의 기울기: \( f'(t) = 3t^2 – 1 \)
  3. 접선 방정식:
    \( y – (t^3 – t + 2) = (3t^2 – 1)(x – t) \)
    이 직선이 점 \( (0, 4) \)를 지나므로:
    \( 4 – (t^3 – t + 2) = (3t^2 – 1)(0 – t) \)
    \( \Rightarrow 4 – t^3 + t – 2 = -t(3t^2 – 1) \)
    \( \Rightarrow 2 – t^3 + t = -3t^3 + t \)
    \( \Rightarrow t^3 = -1 \Rightarrow t = -1 \)
  4. 접점: \( (-1, (-1)^3 – (-1) + 2) = (-1, -1 + 1 + 2) = (-1, 2) \)
  5. 기울기: \( f'(-1) = 3(-1)^2 – 1 = 2 \)
    접선 방정식: \( y – 2 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 4 \)
    x절편: \( y = 0 \Rightarrow 0 = 2x + 4 \Rightarrow x = -2 \)
  • 정답: ④
  • Tip: 외부점에서 그은 접선은 일반형 접선을 세운 후 좌표 대입하여 \( t \) 결정
  • Skill: 일반접선, 곡선 위 점 대입, 직선 방정식, x절편 구하기