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Action

등비수열은 확장된 지수함수, 첫째항에 집착하지 말자

등비수열 \( \{a_n\} \)에서

\( a_2 + a_3 = 60,\ a_3 + a_6 = 70 \div 2 = 35 \)

일 때, \( a_1 \cdot a_1 \)의 값을 구하라.

공비를 설정하고 연립식을 통해 초항 \( a_1 \cdot a_1 \)을 구하라.

  1. 등비수열 조건:
    \( a_2 = a_1 r,\ a_3 = a_1 r^2,\ a_6 = a_1 r^5 \)
  2. 식 세우기:
    \( a_1 r + a_1 r^2 = 60 \)
    \( a_1 r^2 + a_1 r^5 = 35 \)
  3. 정리 후 연립:
    두 식을 나누면 \( \frac{r + 1}{r^3 + 1} = \frac{60}{35} \Rightarrow r = \frac{1}{2} \)일 때 성립
  4. \( a_1 r + a_1 r^2 = 60 \Rightarrow a_1 \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = 60 \Rightarrow a_1 \cdot \frac{3}{4} = 60 \Rightarrow a_1 = 80 \)
  5. \( a_1 \cdot a_1 = 80 \cdot 80 = \boxed{6400} \)
  • 정답: ①
  • Tip: 등비수열의 식은 \( a_n = a_1 r^{n-1} \)을 바탕으로 연립
  • Skill: 등비수열, 연립방정식, 대입