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Action

삼차함수의 개형, 기하적 성질, 변곡점, 수식적 표현

함수 \( f(x) \)는 삼차함수이고,

  • \( f'(x) = \frac{3}{2}(x – \alpha)(x – \beta) \)
  • 조건 (가): \( \lim_{t \to a^-} g(t) + \lim_{t \to a^+} g(t) \leq 2 \)
  • 조건 (나): \( g(f(1)) = 2 \), \( g(f(0)) = 1 \)

\( f(5) \) 값을 구하라.

  • 극점 조건에 따라 \( f'(x) \)의 구조 및 \( f(x) \)의 형태 유도
  • \( g(f(x)) \)의 정의와 함수 구조를 분석해 \( f(5) \) 계산
  1. 도함수 조건: 최고차항 계수는 \( \frac{1}{2} \) →
  2. \( f'(x) = \frac{3}{2}(x – \alpha)(x – \alpha – 2) \) 형태
  3. 적분:
    \( f(x) = \int \frac{3}{2}(x – \alpha)(x – \alpha – 2) dx = \frac{1}{2}x^3 – 3x^2 + \frac{9}{2}x + C \)
  4. 조건 \( f(1) = 1 \) → \( C = -1 \)
  5. \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 – 3x^2 + \frac{9}{2}x – 1 \)
  6. 계산:
    \( f(5) = \frac{1}{2}(125) – 75 + \frac{9}{2}(5) – 1 = \frac{125}{2} – 75 + \frac{45}{2} – 1 = \boxed{9} \)
  • 정답: 9
  • Tip: 조건을 만족시키는 도함수 구조를 정확히 가정하고, 이를 기반으로 적분 → 상수 조건 부여 → 최종 계산
  • Skill: 도함수의 적분, 조건에 따른 상수 결정, 대입 계산