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Action

그림을 그리자

다항함수 \( f(x) = x^3 + ax^2 – (a^2 – 8a)x + 6 \) 가 전체 구간에서 증가 함수가 되기 위한

실수 \( a \)의 최댓값을 구하는 문제입니다.

  • 전체 실수 범위에서 단조 증가를 만족해야 하므로
  • \( f'(x) \ge 0 \) 이고, 그 값이 항상 양수임을 조건으로 활용합니다.
  • 미분:
    • \( f'(x) = 3x^2 + 2ax – (a^2 – 8a) \)
  • \( f'(x) \)가 항상 양수 ⇔ 이차함수가 실수 전체에서 양수 ⇔ 판별식 \( D < 0 \)
  • 판별식 계산:
    • \( D = (2a)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-a^2 + 8a) \)
    • \( = 4a^2 + 12(a^2 – 8a) = 4a^2 + 12a^2 – 96a = 16a^2 – 96a \)
    • \( D < 0 \Rightarrow 16a^2 – 96a < 0 \Rightarrow a^2 – 6a < 0 \Rightarrow 0 < a < 6 \)
  • 따라서 가능한 최댓값은 \( \boxed{6} \)
  • 정답: 6
  • Skill: 증가 조건 도함수 해석, 이차함수 부호 판별
  • Tip: 모든 실수에서 증가하려면 도함수의 판별식을 기준으로 범위를 판단해야 합니다.