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Action
등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자
S (Situation)
T (Task)
A (Action)
R (Result)
수열 \( a_k \)에 대해 다음 조건이 주어졌습니다:
\( \sum_{k=1}^{10} a_k – \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{2} a_k = 86 \)
\( \sum_{k=1}^{10} 2a_k – \sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \)
부분합을 변수로 두어 두 조건을 연립 방정식으로 정리합니다.
그 결과를 바탕으로 \( a_8 \)의 값을 구합니다.
첫 번째 식 정리:
\( \sum_{k=1}^{10} a_k – \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} a_k = 86 \)
\( \Rightarrow \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} a_k + \sum_{k=7}^{10} a_k = 86 \)
두 번째 식 정리:
\( 2 \sum_{k=1}^{10} a_k – \sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \)
\( \Rightarrow \sum_{k=1}^{10} a_k + \sum_{k=9}^{10} a_k = 100 \)
부분합 정의:
\( x = \sum_{k=1}^{6} a_k \), \( y = \sum_{k=7}^{10} a_k \)
\( \Rightarrow \frac{x}{2} + y = 86 \) — (1)
\( x + y = 100 \) — (2)
(1), (2) 연립 → \( x = 28 \), \( y = 72 \)
\( \sum_{k=7}^{10} a_k = a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 72 \)
\( \sum_{k=1}^{8} a_k = x + a_7 + a_8 = 28 + a_7 + a_8 \)
두 번째 조건식:
\( \sum_{k=1}^{10} a_k = 100 \)
\( \Rightarrow \sum_{k=9}^{10} a_k = 100 – (28 + a_7 + a_8) = 72 – (a_7 + a_8) \)
\( a_9 + a_{10} = 72 – (a_7 + a_8) \) — 남은 합
결국 \( a_8 = 12 \)
정답
: 12
Skill
: 수열의 부분합 분리, 연립방정식 해법
Tip
: 구조적으로 나누고 연립하면 복잡한 합도 쉽게 해석 가능