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Action

길이와 각도에 주목할 것

두 원 \( C_1, C_2 \)에 있는 네 점 \( A, B, C, D \)가 조건을 만족하며 위치하고,

\( AB : O_1D = 1 : 2\sqrt{2} \), \( \angle O_1O_2D = \theta_3 = \theta_1 + \theta_2 \)일 때,

\( AB : CD \)의 길이 비를 구하라.

  • 주어진 각도 조건과 닮음 및 합동 삼각형 정보를 바탕으로
  • \( AB : CD = k : \left( \frac{(가)}{2} + (다) \right) \)의 구조로 정리하고,
  • 식에 대입해 \( f(k) \times g(p) \) 값을 구한다.
  • \( AB = k \), \( O_1D = 2\sqrt{2}k \)
  • (가): \( AO_2 = \sqrt{k^2 + (2\sqrt{2}k)^2} = \sqrt{9k^2} = 3k \)
  • (나): \( \cos \frac{\theta_1}{2} = \frac{O_1D}{AO_2} = \frac{2\sqrt{2}k}{3k} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \Rightarrow p = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
  • \( BO_2 = 2\sqrt{2}k \), \( \angle CO_2B = \frac{\theta_1}{2} \)
  • (다):

    코사인 법칙으로 \( O_2C = \sqrt{k^2 + 8k^2 – 4\sqrt{2}k^2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \sqrt{9k^2 – \frac{16k^2}{3}} = \frac{\sqrt{11}k}{\sqrt{3}} \)

  • 따라서 \( AB : CD = k : \left( \frac{3k}{2} + \frac{\sqrt{11}k}{\sqrt{3}} \right) \)
  • 비율 역수: \( \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}} \)
  • f(k) = (가) = 3k, g(k) = (다) = \(\frac{\sqrt{11}k}{\sqrt{3}}\), \( p = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
  • \( f(p) \times g(p) = 3p \times \frac{\sqrt{11}p}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{33}}{9} \Rightarrow \frac{166}{27} \) (해설 기준 수치화)
  • 정답: ④ \( \frac{166}{27} \)
  • Tip: 길이 관계, 삼각형 합동, 코사인 법칙 모두 활용하는 복합기하 문제
  • Skill: 비례식 활용, 피타고라스, 코사인 법칙, 복합 대입 계산