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Action

기울기와 지나는 점

함수 \( y = f(x) \), \( y = x f(x) \)가 주어졌을 때,

두 곡선의 특정 점에서 접선이 일치하도록 \( f'(2) \)를 구하라.

  • 조건:
  • \( f(0) = 0 \)
  • \( (1, 2) \in y = x f(x) \)

두 곡선의 접선 방정식이 같아지려면 도함수의 기울기도 일치해야 함 → \( f(2), f'(2) \) 관계식 유도

  • 접선의 기울기:
  • \( y = f(x) \)의 접선 기울기: \( f'(x) \)
  • \( y = x f(x) \)의 접선 기울기: \( f(x) + x f'(x) \) (곱의 미분)
  • 두 접선이 같으므로:
  • \( f'(0) = f(1) + 1 \cdot f'(1) \Rightarrow \) (해설에 따라)
  • \( f(1) = 2 \rightarrow 2 = f(1) + f'(1) \rightarrow f'(1) = 0 \)
  • 문제 조건과 정리하면 \( f'(2) = -18 \)
  • 접선의 기울기:
  • \( y = f(x) \)의 접선 기울기: \( f'(x) \)
  • \( y = x f(x) \)의 접선 기울기: \( f(x) + x f'(x) \) (곱의 미분)
  • 두 접선이 같으므로:
  • \( f'(0) = f(1) + 1 \cdot f'(1) \Rightarrow \) (해설에 따라)
  • \( f(1) = 2 \rightarrow 2 = f(1) + f'(1) \rightarrow f'(1) = 0 \)
  • 문제 조건과 정리하면 \( f'(2) = -18 \)