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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

수열 \( \{a_n\} \)이 조건을 만족:

  • (가) \( a_2 \cdot a_3 < 0 \)
  • (나) 모든 자연수 \( n \)에 대해
    \( (a_{n+1} – a_n + \tfrac{2}{3}k)(a_{n+1} + k a_n) = 0 \)
  • 초기값: \( a_1 = k \) (단, \( k > 0 \), \( a_5 = 0 \)이 되는 \( k \)만 고려)
  • 조건에 맞는 서로 다른 양수 \( k \)를 모두 찾고,
  • 그 제곱의 합을 구하라.
  1. 조건 (나)는 곱이 0이므로 두 경우 중 하나:
    • (1) \( a_{n+1} = a_n – \frac{2}{3}k \)
    • (2) \( a_{n+1} = -k a_n \)
  2. \( a_1 = k \)에서 시작 → 각 경우 분기하며 귀납적 계산
  3. 모든 경우에 대해 \( a_5 = 0 \)이 되는지를 확인
  4. 그리고 조건 (가)인 \( a_2 a_3 < 0 \)를 만족해야 함.

정답: \( \boxed{8} \)

\( k^2 = 4, 2, \frac{4}{3}, \frac{2}{3} \Rightarrow \) 합은
\( 4 + 2 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 8 \)