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Action

그림을 그리자

주어진 함수:

\( f(x) =
\begin{cases}
\sin x – 1 & (0 \le x < \pi) \\ – \sqrt{2} \sin x – 1 & (\pi \le x \le 2\pi) \end{cases} \)

방정식 \( f(x) = f(t) \)의 서로 다른 실근이 3개가 되도록 하는 \( t \)들의 합을 \( \frac{q}{p} \pi \)라고 할 때 \( p + q \)를 구하시오.

정의된 함수의 각 구간에서 함수값이 -1 또는 0이 되는 조건을 만족하는 \( t \)값들을 구해야 함.

  • \( f(t) = -1 \)이면 → \( t = 0, \pi, 2\pi \)
  • \( f(t) = 0 \)이면
    • \( 0 \le x < \pi \)에서 \( \sin x = 1 \) → \( t = \frac{\pi}{2} \)
    • \( \pi \le x \le 2\pi \)에서 \( -\sqrt{2} \sin x – 1 = 0 \) → \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
    • → \( t = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \)
  • → 가능한 \( t \)의 합은:
  • \( 0 + \pi + 2\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{13\pi}{2} \)
  • \( \Rightarrow \frac{q}{p} = \frac{13}{2}, \quad p + q = 15 \)

정답: \( \boxed{15} \quad \)

🎯 Tip: f(t) = f(x) 실근이 3개는 대칭 조건을 활용한 교점 문제로 접근! 그래프 스케치 필수!