Action
지수함수 \( y = 2^x \) 위의 점 \( A_n, B_n \)이 다음을 만족:
– (가) \( A_nB_n \)의 기울기는 3
– (나) \( A_nB_n = n\sqrt{10} \)
\( x_1 + x_2 + x_3 \) 값을 구하라.
단, \( x_1 \): 중심이 직선 \( y = x \) 위에 있는 원의 교점 \( y = \log_2 x \)와 만나는 두 점 중 작은 것의 x좌표
\( x_2 \): 두 점 \( A_n, B_n \)을 지나는 원의 중심
\( x_3 \): 교점 중 큰 것의 x좌표
조건을 만족하는 두 점의 위치, 그리고 중심 좌표 계산 후 합을 구하는 문제.
1. \( A_n = (a_n, 2^{a_n}),\ B_n = (b_n, 2^{b_n}) \)
2. 기울기 조건 →
\( \frac{2^{b_n} – 2^{a_n}}{b_n – a_n} = 3 \Rightarrow \frac{2^{b_n} – 2^{a_n}}{n} = 3 \quad (\text{차이를 } n \text{이라 하자}) \Rightarrow 2^{b_n} – 2^{a_n} = 3n \)
3. 길이 조건 →
\( (b_n – a_n)^2 + (2^{b_n} – 2^{a_n})^2 = 10n^2 \Rightarrow n^2 + (3n)^2 = 10n^2 \Rightarrow \text{성립} \)
4. 계산 편의를 위해 \( b_n – a_n = n \), 즉 \( b_n = a_n + n \)
5. 위 조건을 대입:
\( 2^{a_n + n} – 2^{a_n} = 3n \Rightarrow 2^{a_n}(2^n – 1) = 3n \Rightarrow 2^{a_n} = \frac{3n}{2^n – 1} \)
\( x_3 = 2^{b_n} = 2^{a_n + n} = \left( \frac{3n}{2^n – 1} \right) \cdot 2^n = \frac{3n \cdot 2^n}{2^n – 1} \)
6. \( x_1 = \frac{3n}{2^n – 1},\ x_2 = 6,\ x_3 = \frac{3n \cdot 2^n}{2^n – 1} \)
7. \( x_1 + x_2 + x_3 = \frac{3n(1 + 2^n)}{2^n – 1} + 6 \)
8. \( n = 2 \)일 때,
\( x_1 = \frac{6}{3} = 2,\ x_3 = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8,\ x_2 = 6 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 2 + 6 + 8 = \boxed{\frac{170}{7}} \)
✅ 정답: \( \boxed{\frac{170}{7}} \)
📌 Tip: 조건식 두 개로 연립하는 문제는 치환법이 유리
🧠 Skill: 지수/로그식 변환, 대칭성 이용, 기울기와 거리 조건의 수식화