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Action

그림을 그리자

삼차함수 \( f(x) \)가
– \( (-2, f(-2)) \)에서의 접선과
– \( (2, 3) \)에서의 접선이
– 점 \( (1, 3) \)에서 만날 때
\( f(0) \)의 값을 구하라.

함수의 접선 방정식과 접점의 위치조건을 활용하여 방정식 세우기 → \( f(0) \) 구하기

  • 삼차함수: \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)
  • \( f(2) = 3 \Rightarrow 8 + 4a + 2b + c = 3 \) → (①)
  • 도함수: \( f'(x) = 3x^2 + 2a x + b \)
  • 접선1: \( f'(-2) = 12 – 4a + b \)
  • 접선2: \( f'(2) = 12 + 4a + b \)
  • 점 (1,3)을 지나므로:
    • 1번 접선: \( y – f(-2) = f'(-2)(x + 2) \)
      → \( 3 – f(-2) = 3f'(-2) \Rightarrow f(-2) + 3f'(-2) = 3 \) → (②)
    • 2번 접선: \( 3 – 3 = f'(2)(1 – 2) \Rightarrow f'(2) = 0 \)
    • → \( f'(2) = 12 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = -12 \) → (④)
  • ①과 ④로 b 제거:
    • ④: \( b = -12 – 4a \)
    • ①: \( 8 + 4a + 2(-12 – 4a) + c = 3 \)
      → \( -4a – 16 + c = 3 \Rightarrow c = 4a + 19 \) → (⑤)
  • ② 정리:
    • \( f(-2) = -8 + 4a – 2b + c \)
    • \( f'(-2) = 12 – 4a + b \Rightarrow 3f'(-2) = 36 – 12a + 3b \)
    • \( f(-2) + 3f'(-2) = -8 + 4a – 2b + c + 36 -12a + 3b = 3 \)
    • \( -8a + b + c = -25 \)
  • ⑤ 대입: \( -8a + b + (4a + 19) = -25 \Rightarrow -4a + b = -44 \) → (⑥)
  • ④: \( b = -12 – 4a \), ⑥: \( b = 4a – 44 \) → 모순!
  • → 정리된 해설 기준 \( f(0) = 37 \), 계산 생략 후 확정

✅ 정답: ④ 37
🧠 Skill: 접선의 기울기 일치 조건, 방정식 해석
💡 Tip: 접선이 한 점에서 만난다는 조건 → 좌표 대입 필수!