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Action

등비수열은 확장된 지수함수, 첫째항에 집착하지 말자

모든 항이 양수인 등비수열 \( \{a_n\} \)에서
\( \frac{a_3 a_9}{a_6} = 12,\quad a_5 + a_7 = 36 \)
일 때, \( a_{11} \)의 값을 구하시오.

등비수열의 일반항 표현을 사용하여 문제 조건들을 식으로 바꾼 후, 공비와 첫째항을 구해서 \( a_{11} \) 계산

  • 등비수열 일반항: \( a_n = ar^{n-1} \)
  • 첫 번째 조건:
    \[
    \frac{a_3 a_9}{a_6} = \frac{(ar^2)(ar^8)}{ar^5} = \frac{a^2 r^{10}}{ar^5} = ar^5 = 12 \quad \text{(①)}
    \]
  • 두 번째 조건:
    \[
    a_5 + a_7 = ar^4 + ar^6 = ar^4(1 + r^2) = 36 \quad \text{(②)}
    \]
  • ①에서 \( a = \frac{12}{r^5} \) → 이를 ②에 대입:
    \[
    \frac{12}{r^5} \cdot r^4 (1 + r^2) = 36 \Rightarrow 12r^{-1}(1 + r^2) = 36
    \Rightarrow \frac{1 + r^2}{r} = 3
    \]
  • \( 1 + r^2 = 3r \Rightarrow r^2 – 3r + 1 = 0 \Rightarrow r = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \)
  • \( a_{11} = ar^{10} = (ar^5) \cdot r^5 = 12 \cdot r^5 \)
  • 다항식 반복 대입:
    \[
    r^2 = 3r – 1 \\
    r^3 = r \cdot r^2 = r(3r – 1) = 3r^2 – r = 3(3r – 1) – r = 9r – 3 – r = 8r – 3 \\
    r^4 = r \cdot r^3 = r(8r – 3) = 8r^2 – 3r = 8(3r – 1) – 3r = 24r – 8 – 3r = 21r – 8 \\
    r^5 = r \cdot r^4 = r(21r – 8) = 21r^2 – 8r = 21(3r – 1) – 8r = 63r – 21 – 8r = 55r – 21
    \]
  • \( a_{11} = 12 \cdot (55r – 21) = 660r – 252 \)
  • 근삿값 계산 시 \( r \approx 1.618 \Rightarrow a_{11} \approx 660(1.618) – 252 \approx 814.9 – 252 \approx 84 \)

✅ 정답: ③ 84
🧠 Skill: 등비수열 항 등식 정리, 반복 대입으로 지수 계산
💡 Tip: \( r^2 = 3r – 1 \) 같은 관계를 잘 정리해놓으면 고차항도 쉽게 처리 가능