① 접선 기울기:
\( f(x) = x^3 – 4x + 5 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 – 4 \Rightarrow f'(1) = 3(1)^2 – 4 = -1 \)
→ 접선의 기울기 = -1
→ 접선 방정식:
\( y – 2 = -1(x – 1) \Rightarrow y = -x + 3 \)

② 두 번째 곡선:
\( g(x) = x^4 + 3x + a \)
이 접선 \( y = -x + 3 \)이 곡선과 접하므로
\( g(x) = -x + 3 \Rightarrow x^4 + 4x + a – 3 = 0 \)

이 방정식이 중근을 가지면 접점 존재
→ 접선이 \( x = 1 \)에서 접한다고 하면 대입:
\( 1^4 + 4(1) + a – 3 = 0 \Rightarrow 1 + 4 + a – 3 = 0 \Rightarrow a = -2 \)

→ 검증:
기울기 조건도 일치해야 함
\( g'(x) = 4x^3 + 3 \Rightarrow g'(1) = 4 + 3 = 7 \neq -1 \) → ❌ 불일치

→ 따라서 \( x = t \)에서 접한다고 두고 다시 풀이
조건 1: \( y = -t + 3 = t^4 + 3t + a \)
조건 2: 기울기 동일 → \( -1 = 4t^3 + 3 \Rightarrow t^3 = -1 \Rightarrow t = -1 \)

대입:
\( y = -(-1) + 3 = 4 \)
\( y = (-1)^4 + 3(-1) + a = 1 – 3 + a = a – 2 \Rightarrow a – 2 = 4 \Rightarrow a = \boxed{6} \)