✅ Step 1. 절댓값 방정식 분해

\(f(x) + |f(x)| = \begin{cases} 2f(x) & \text{if } f(x) \geq 0 \\ 0 & \text{if } f(x) < 0 \end{cases}\)

따라서, 주어진 방정식은 구간에 따라 다음 두 경우로 나뉜다:

• (i) \(f(x) \geq 0\): \(2f(x) = 6x + k\)
• (ii) \(f(x) < 0\): \(0 = 6x + k \Rightarrow x = -\frac{k}{6}\)

→ 이 문제는 위 두 방정식의 해 개수 합이 4개가 되도록 하는 정수 \(k\)를 찾는 것이다.

✅ Step 2. \(f(x)\)의 부호가 바뀌는 구간 확인

\(f(x) = \frac{1}{2}x^3 – \frac{9}{2}x^2 + 10x\)

→ 극값 구간이 중요하므로 도함수 계산:
\(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 – 9x + 10 \Rightarrow 0 \Rightarrow x = 1, x = \frac{20}{3}\)

– \(x = 0\)에서는 \(f(0) = 0\)
– \(x = 1\) 부근에서 양의 극대
– \(x = 5\) 근처에서 음의 극소

→ \(f(x) < 0\)인 구간 존재, 즉 해당 구간에서 생기는 해는 \(x = -\frac{k}{6}\)

✅ Step 3. \(g(x) = f(x) + |f(x)|\) 정의

\(g(x) = \begin{cases} 0 & f(x) < 0 \\ 2f(x) & f(x) \geq 0 \end{cases}\)

→ 방정식은 \(g(x) = 6x + k\)
→ 이 직선이 곡선과 3개 교점 + 절댓값 영역 1개 교점을 가져야 함

✅ Step 4. \(h(x) = 2f(x) – 6x = x^3 – 9x^2 + 20x\)

→ \(g(x) = 6x + k \Rightarrow 2f(x) = 6x + k \Rightarrow h(x) = x^3 – 9x^2 + 20x = k\)

→ 방정식 \(h(x) = k\)의 해 개수 = \(f(x) \geq 0\)에서의 교점 수

\(h'(x) = 3x^2 – 18x + 20 \Rightarrow x = 1,\ 5\)
\(h(1) = 1 – 9 + 20 = 12,\quad h(5) = 125 – 225 + 100 = 0\)

→ 극값 사이 값 \(0 < k < 12\)일 때, \(y = k\)는 곡선 \(y = h(x)\)와 3개 교점

✅ Step 5. \(f(x) < 0\)인 구간에서의 교점

\(f(x) + |f(x)| = 0 = 6x + k \Rightarrow x = -\frac{k}{6}\)
→ 이 값이 \(f(x) < 0\)인 구간에 있어야 유효한 교점
→ \(x = -\frac{k}{6} 0\)

✅ Step 6. 결론

\(k \in (0, 12)\) 범위에서

• \(h(x) = k\) 해를 3개
• \(x = -\frac{k}{6}\)이 추가 해 1개

→ 총 실근이 4개

→ 가능한 정수 \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)