Action
두 수열 \( \{a_n\}, \{b_n\} \)에 대하여
– \( \sum_{k=1}^{10}(a_k + 2b_k) = 45 \)
– \( \sum_{k=1}^{10}(a_k – b_k) = 3 \)
이 때, \( \sum_{k=1}^{10} \left( b_k – \frac{1}{2} \right) \)의 값을 구해야 한다.
두 수열 \( \{a_n\}, \{b_n\} \)에 대하여
– \( \sum_{k=1}^{10}(a_k + 2b_k) = 45 \)
– \( \sum_{k=1}^{10}(a_k – b_k) = 3 \)
이 때, \( \sum_{k=1}^{10} \left( b_k – \frac{1}{2} \right) \)의 값을 구해야 한다.
두 합의 식을 전개하여 공통항 제거 및 식의 조합을 통해 \( \sum b_k \)를 구한다.
① \( \sum(a_k + 2b_k) = \sum a_k + 2\sum b_k = 45 \)
② \( \sum(a_k – b_k) = \sum a_k – \sum b_k = 3 \)
→ ①, ②를 연립해서 \( \sum b_k \)를 구한다.
① + ②:
\( (\sum a_k + 2\sum b_k) + (\sum a_k – \sum b_k) = 45 + 3 \Rightarrow 2\sum a_k + \sum b_k = 48 \)
② × 2:
\( 2\sum a_k – 2\sum b_k = 6 \)
→ 위 두 식을 빼면
\( (2\sum a_k + \sum b_k) – (2\sum a_k – 2\sum b_k) = 48 – 6 \Rightarrow 3\sum b_k = 42 \Rightarrow \sum b_k = 14 \)
이제 최종적으로
\( \sum_{k=1}^{10} \left( b_k – \frac{1}{2} \right) = \sum b_k – 10 \times \frac{1}{2} = 14 – 5 = 9 \)
– 정답: \( \boxed{9} \)
– Tip: 다항의 선형 결합을 통해 공통항 제거 및 원하는 항 추출 가능
– Skill:
– 합의 성질: 항별 합 분배
– 식의 조합: 연립 방정식 형태로 변형해 원하는 항 추출
– 연산 간소화: 복잡한 식을 단일 변수로 정리