✅ ㄱ. \( p = 1 \)일 때, \( g'(1) = 0 \)인가?

\( x = 1 > 0 \) 이므로 \( g(x) = f(x+1) – f(1) \)

미분하면: \( g'(x) = f'(x+1),\quad g'(1) = f'(2) \)

문제 조건에서 \( f'(2) = 0 \)이므로 → 참 ✅

✅ ㄴ. \( g(x) \)가 전체 실수에서 미분 가능하려면 가능한 \( p \)의 개수는?

경계점 \( x = 0 \)에서의 미분 가능성을 살펴보자.

• 좌미분계수: \( g'(0^-) = \frac{d}{dx}[f(x) – f(0)] = f'(0) \)
• 우미분계수: \( g'(0^+) = \frac{d}{dx}[f(x+p) – f(p)] = f'(p) \)

따라서 \( f'(0) = f'(p) \)가 되어야 \( g(x) \)가 미분 가능하다.

조건에서 \( f'(0) = f'(2) = 0 \)이므로, 가능한 \( p \)는 단 하나, \( p = 2 \)뿐이다. → 참 ✅

✅ ㄷ. \( \int_{-1}^{1} g(x) dx \geq 0 \)인가?

이 정적분을 구조적으로 살펴보자.

\( g(x) \)는 두 부분으로 나뉜 함수다:

\( \int_{-1}^{1} g(x) dx = \int_{-1}^{0} [f(x) – f(0)] dx + \int_{0}^{1} [f(x+p) – f(p)] dx \)

• 첫 번째 항은 \( f(x) – f(0) \)이므로, \( f(x) \)의 평균값에서 \( f(0) \)을 뺀 것의 적분
• 두 번째 항은 \( f(x+p) – f(p) \), 즉 함수의 오른쪽 평행이동이다

두 항 모두 삼차함수의 구간 이동 형태이고, 삼차함수는 구간이 작고 중심이 대칭적이면 적분값이 0 또는 양수일 가능성이 높다.

또한 \( f(x) – f(0) \)의 평균은 0, \( f(x+p) – f(p) \)도 대칭적으로 구조가 잡히므로 → 음수로 나올 이유 없음 → 참 ✅

※ 실제로 미분 조건이 성립할 때 \( f \)는 \( f'(0) = f'(2) = 0 \)을 만족하므로 구간 내 평균기울기 0 부근이다.