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Action

삼차함수의 개형, 기하적 성질, 변곡점, 수식적 표현

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수.

모든 정수 \( k \)에 대해

\( 2k – 8 \leq \frac{f(k+2) – f(k)}{2} \leq 4k^2 + 14k \)

위 부등식을 만족하는 f(x)에 대해 \( f'(3) \) 값을 구하라.

주어진 부등식을 등식으로 보고 \( f(k+2) – f(k) \)를 양쪽 극한에서 같게 만드는 \( k \)를 찾아야 한다.

이후 삼차함수 복원 후 도함수 계산.

  1. 주어진 부등식의 양끝 등식 처리:
    \( 2k – 8 = \frac{f(k+2) – f(k)}{2} = 4k^2 + 14k \Rightarrow 2k – 8 = 4k^2 + 14k \)
  2. 정리하면 이차방정식:
    \( 4k^2 + 12k + 8 = 0 \Rightarrow (k+1)(k+2) = 0 \Rightarrow k = -1, -2 \)
  3. 각각 대입하여 조건식 해석:
    • \( k = -1 \): \( f(1) – f(-1) = -20 \)
    • \( k = -2 \): \( f(0) – f(-2) = -24 \)
  4. 일반 삼차함수 가정:
    \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)
  5. 두 식 연립:
    • \( f(1) – f(-1) = 2 + 2b = -20 \Rightarrow b = -11 \)
    • \( f(0) – f(-2) = 8 – 4a + 22 = -24 \Rightarrow a = \frac{5}{2} \)
  6. 도함수:
    \( f'(x) = 3x^2 + 5x – 11 \Rightarrow f'(3) = 3(9) + 15 – 11 = 31 \)

정답: \( \boxed{31} \)