Action
두 함수 \( f(x), g(x) \)는 모든 실수 \( x \)에 대해 다음 조건을 만족한다:
위 조건을 만족하는 \( g(x) \)를 구하고, \( \int_0^3 g(x)\,dx \) 계산
1. 조건 (가)를 양변 \( x \)에 대해 미분:
\( x f(x) + x g(x) = 12x^3 + 24x^2 – 6x \)
2. 조건 (나) \( f(x) = x g'(x) \) 대입:
\( x g'(x) \cdot x + x g(x) = 12x^3 + 24x^2 – 6x \Rightarrow x^2 g'(x) + x g(x) \)
3. 좌변을 정리하여 \( (x g(x))’ \)로 표현:
\( (x g(x))’ = 12x^2 + 24x – 6 \)
4. 양변 적분:
\( x g(x) = \int (12x^2 + 24x – 6)\,dx = 4x^3 + 12x^2 – 6x + C \)
(다항함수이므로 \( C = 0 \))
5. \( g(x) = \frac{x g(x)}{x} = 4x^2 + 12x – 6 \)
6. 최종 적분값:
\( \int_0^3 g(x)\,dx = \int_0^3 (4x^2 + 12x – 6)\,dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 + 6x^2 – 6x \right]_0^3 = 72 \)
정답: ① 72
Tip: \( f(x) = x g'(x) \) 조건을 활용하면 \( x g(x) \)의 도함수 형태로 바꾸어 손쉽게 접근할 수 있다.
Skill: 도함수의 형태 인식과 정적분 계산