Action
\( f(x) = \begin{cases} -x^2 – 2x + 6 & (x < 0) \\ -x^2 + 2x + 6 & (x \geq 0) \end{cases} \)
이 함수와 x축이 만나는 점을 P, Q라 할 때, \( x = k \)가 x축과 만나는 점을 R이라 하자.
\( A = \text{넓이}(PQ 구간 아래),\ B = \text{넓이}(QR 구간 아래) \)
\( A = 2B \)일 때, \( k \)의 값을 구하라.
\( f(x) \)와 x축 사이 넓이 중, 전체 넓이를 기준으로 \( A = 2B \)일 때 \( k \) 값을 구하는 문제.
1. 함수는 우함수이므로 y축 기준 대칭 → 좌우 면적 대칭 활용
2. 전체 넓이: \( \int_0^k (-x^2 + 2x + 6)\,dx \)
3. 조건 \( A = 2B \Rightarrow \int_0^k (-x^2 + 2x + 6)\,dx = 0 \)
4. 정적분 계산:
\( \int_0^k (-x^2 + 2x + 6)\,dx = -\frac{1}{3}k^3 + k^2 + 6k = 0 \)
\( \Rightarrow k(k + 3)(k – 6) = 0 \Rightarrow k = 6 \quad (\text{단 } k > 4) \)
✅ 정답: \( \boxed{6} \)
📌 Tip: 함수가 우함수일 경우, y축 기준으로 면적도 대칭
🧠 Skill: 정적분을 활용한 넓이 계산, 삼차방정식의 인수분해