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Action

삼차함수의 개형, 기하적 성질, 변곡점, 수식적 표현

삼차함수 \( f(x) \)가 다음 조건을 만족해야 함:

  • \( f(k-1)f(k+1) < 0 \)이 성립하지 않아야 함 (모든 정수 \( k \)에 대해 함수값 부호가 바뀌면 안 됨)
  • 도함수 조건:
    • \( f’\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} \)
    • \( f’\left(\frac{1}{4}\right) < 0 \)

이러한 조건을 만족하는 삼차함수 \( f(x) \)에 대해 \( f(8) \)의 값을 구하시오.

함수 \( f(x) \)를 조건에 맞춰 구성하고, \( f(8) \)의 값을 정확히 구하라.

  1. 조건 ①: \( f(k-1)f(k+1) < 0 \)이 성립하지 않아야 함
    → \( f(x) \)가 모든 정수 구간에서 부호가 일정해야 함 → 실근의 개수 제한됨
  2. 조건 ②: 도함수 조건
    \( f’\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4},\quad f’\left(\frac{1}{4}\right) < 0 \)
  3. 삼차함수 형태 설정:
    예를 들어 \( f(x) = \left(x + \frac{5}{8}\right)(x^2 – x) \)는 위 조건을 만족
  4. \( f(8) \) 계산:
    \( f(8) = \left(8 + \frac{5}{8}\right)(8^2 – 8) = \frac{69}{8} \cdot 56 = 483 \)
  • 정답: ✅ \( \boxed{483} \)
  • Tip: 조건을 만족하는 함수를 직접 구성한 뒤, 대입 계산으로 확인하는 전략이 중요.
  • Skill: 도함수의 부호 해석, 부등식 조건 활용, 함수 구성 능력