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Action

새로운 함수의 의미 파악에 집중하자. 정의역과 치역에 집중

함수 \( f(x) \)는 구간별로 다음과 같이 정의됨:

  • \( -1 \le x < 6 \): \( f(x) = -x^2 + 6x \) (이차함수)
  • \( x \ge 6 \): \( f(x) = a \log_4(x – 5) \) (로그함수)

모든 실수 \( t \ge 0 \)에 대해, 구간 \( [t – 1, t + 1] \)에서의 최소값을 \( g(t) = \min_{x \in [t-1, t+1]} f(x) \)라 할 때,

\( g(t) \ge 5 \)를 만족시키는 가장 작은 양수 \( a \)를 구하시오.

\( g(t) = \min_{x \in [t – 1, t + 1]} f(x) \)의 최솟값이 5 이상이 되도록 하는 최소의 양수 \( a \)를 구하라.

  1. 포물선 \( f(x) = -x^2 + 6x \)는 아래로 볼록하며, 꼭짓점은 \( x = 3 \), \( f(3) = 9 \)
  2. \( f(1) = 5 \), \( f(5) = 5 \), \( f(6^-) = 0 \)이므로, \( x < 6 \)구간에서 최소값은 0까지 가능함
  3. \( t = 0 \)일 때, 구간은 \( [-1, 1] \)이고 \( \min f(x) = f(1) = 5 \) → \( g(0) = 5 \)
  4. \( 1 \le t \le 5 \)일 때도 \( [t – 1, t + 1] \subset [-1, 6) \), 최소값은 \( f(1) \sim f(5) \ge 5 \)
  5. \( t = 6 \)일 때, 구간은 \( [5, 7] \). 이 구간에서의 최소값을 계산:
    \( f(5) = -25 + 30 = 5 \), \( f(6^-) = 0 \), \( f(6^+) = a \log_4(1) = 0 \), \( f(7) = a \log_4(2) = a \cdot \frac{1}{2} \)
  6. 가장 작은 \( f(x) \)는 \( f(7) = \frac{a}{2} \), 이것이 5 이상이어야 하므로:
    \( \frac{a}{2} \ge 5 \Rightarrow a \ge 10 \)
  • 정답: ✅ \( \boxed{10} \)
  • Tip: 함수가 구간별로 정의될 경우, 구간 경계에서의 함수 연속성과 최소값 위치에 주의해야 한다.
  • Skill: 구간 함수 해석, 로그함수 계산, 최솟값 추적