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Action

그림을 그리자

함수 \( f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) \)에 대해,

\( 0 < x < 16 \)에서 다음 부등식이 주어졌다:

\( f(2+x)f(2-x) < \frac{1}{4} \)

이 부등식을 만족시키는 모든 자연수 \( x \)의 합을 구하시오.

  1. \( f(2+x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}(2+x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) \)
  2. \( f(2-x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}(2-x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) \)
  3. \( f(2+x)f(2-x) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}x\right) \)
  4. 따라서 주어진 부등식은 다음과 같다:
    \( \cos^2\left(\frac{\pi}{4}x\right) < \frac{1}{4} \)
    \( \Rightarrow -\frac{1}{2} < \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) < \frac{1}{2} \)
  5. 이 범위를 만족하는 \( \frac{\pi}{4}x \)의 구간은:
    \( \frac{\pi}{4}x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right), \left(\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}\right), \ldots \)
    \( \Rightarrow x \in ( \frac{8}{3}, \frac{16}{3} ), ( \frac{32}{3}, \frac{40}{3} ), \ldots \)
  6. 0 < x < 16인 자연수 해는:
    • \( x = 2, 6, 10, 14 \)
  • 정답: ✅ \( 2 + 6 + 10 + 14 = 32 \)
  • Tip: 삼각함수 곱을 제곱으로 바꾸면 해석이 쉬워지며, 주기를 고려해 범위를 추론해야 한다.
  • Skill: 삼각함수 항등식 치환, 부등식 해 구간 추론, 자연수 조건 필터링.