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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

두 수열 \( \{a_k\}, \{b_k\} \)에 대해 다음이 주어졌다:

  • \( \sum_{k=1}^{10} a_k = \sum_{k=1}^{10} (2b_k – 1) \)
  • \( \sum_{k=1}^{10} (3a_k + b_k) = 33 \)

\( \sum_{k=1}^{10} b_k \)의 값을 구하시오.

  1. 첫 번째 조건에서:
    \( \sum a_k = 2\sum b_k – 10 \quad \text{(①)} \)
  2. 두 번째 조건에서:
    \( \sum (3a_k + b_k) = 3\sum a_k + \sum b_k = 33 \Rightarrow \sum b_k = -3\sum a_k + 33 \quad \text{(②)} \)
  3. 식 ①을 ②에 대입:
    \( \sum b_k = -3(2\sum b_k – 10) + 33 \)
    \( = -6\sum b_k + 30 + 33 = -6\sum b_k + 63 \)
    \( \Rightarrow 7\sum b_k = 63 \Rightarrow \sum b_k = 9 \)
  • 정답: ✅ 9
  • Tip: 수열의 합 조건을 비교해서 미지수를 제거하는 구조화된 대입 방식 활용.
  • Skill: 수열합 대입식 변형, 연립방정식 해결.