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Action

삼차함수의 개형, 기하적 성질, 변곡점, 수식적 표현

함수 \( g(x) = \frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)} \quad (f(x) \ne 0), \quad g(x) = 3 \quad (f(x) = 0) \)

단, \( f(x) \)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수.

조건: \( \lim_{x \to 3} g(x) = g(3) – 1 \)

조건을 만족하는 함수 \( f(x) \)를 구성하고, \( g(5) \)의 값을 구하라.

  1. 조건 해석:
    \( \lim_{x \to 3} g(x) = g(3) – 1 \Rightarrow g(3) = \lim_{x \to 3} g(x) + 1 \)
  2. 극한 형태 분석:
    – \( f(x) \)는 삼차방정식이므로 \( f(x) = (x – 3)(x – 6)(x – k) \) 형태 가정
    – 극한 계산 시 분모 \( f(x) \to 0 \)이므로, 분자도 \( \to 0 \)이어야 함
    \( \Rightarrow \lim_{x \to 3} f(x+3)\{f(x)+1\} = 0 \)
    \( \Rightarrow f(6) = 0 \) 즉, \( k = 6 \) 아님 \( \Rightarrow k = 4 \)로 유도됨
  3. \( f(x) = (x – 3)(x – 4)(x – 6) \) 구성
    \( \Rightarrow g(5) = \frac{f(8)(f(5)+1)}{f(5)} \)
    – \( f(5) = (5 – 3)(5 – 4)(5 – 6) = 2 \times 1 \times (-1) = -2 \)
    – \( f(8) = (8 – 3)(8 – 4)(8 – 6) = 5 \times 4 \times 2 = 40 \)
    \( \Rightarrow g(5) = \frac{40 \times (-1)}{-2} = 20 \)

✅ 정답: ④ 20

🧠 Skill: 극한 정의와 연속성 판단, 삼차함수 근 구성

💡 Tip: 분모 극한이 0이면, 분자도 0으로 만드는 조건 유도 필요