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Action

그림을 그리자

함수

\( f(x) =
\begin{cases}
2^{x+a} + b & (x \leq -8) \\
-3x^{-3} + 8 & (x > -8)
\end{cases} \)

이 다음 조건을 만족시킬 때 \( a + b \)의 값을 구하는 문제.

> 조건: 집합 \( \{ f(x) \mid x \leq k \} \)의 원소 중 정수인 것이 2개가 되도록 하는 모든 실수 \( k \)의 값의 범위가 \( 3 \leq k < 4 \)이다.

정수 \( k \)를 기준으로 \( x \leq k \)에서 정수 출력이 두 개만 되게 하기 위해 \( f(x) \)의 정의 구간에서 정수값이 나오는 조건을 찾고 \( a + b \)의 값을 계산하라.

  1. \( x > -8 \)에서 정의된 함수 \( f(x) = -3x^{-3} + 8 \)은 연속이며, \( x = 3, 4 \)에서 \( f(3) = 7 \), \( f(4) = 6 \)
    → 조건상 \( k = 3 \)이면 \( f(x) \)는 \( x > -8 \)에서 정수 두 개만 가짐 (예: \( x = 3, 4 \))
  2. 따라서 \( x \leq -8 \)에서는 \( f(x) = 2^{x+a} + b \)가 단 하나의 정수 값을 가져야 함.
    → 정수 출력이 되려면 \( 2^{x+a} + b = \text{정수} \)
    → \( x = -8 \) 대입: \( f(-8) = 2^{-8 + a} + b \)
  3. \( f(-8) \)이 정수이고 \( 6 \leq f(-8) < 7 \)이 되도록 하자 (이전 정수값 6, 7을 피하려면)
    \( 6 \leq 2^{-8+a} + b < 7 \)
    \( \Rightarrow 1 \leq 2^{-8+a} < 2 \)
    \( \Rightarrow 0 \leq -8 + a < 1 \)
    \( \Rightarrow 8 \leq a < 9 \Rightarrow a = 8 \)
    → 그럼 \( 2^{-8+8} + b = 2^0 + b = 1 + b \)
    → \( 6 \leq 1 + b < 7 \Rightarrow b = 5 \)

\( a + b = 8 + 5 = 13 \)

✅ 정답: ② 13

🧠 Skill: 지수함수 값 범위 해석

💡 Tip: 정수 조건이 있는 함수는 구간의 값 개수로 case를 나누어 판단