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Action

그림을 그리자

함수

\( f(x) =
\begin{cases}
– \frac{1}{3} x^3 – ax^2 – bx & (x < 0) \\ \frac{1}{3} x^3 + ax^2 – bx & (x \geq 0) \end{cases} \)

이 구간 \( (-\infty, -1) \)에서 감소하고, \( [-1, \infty) \)에서 증가할 때 \( a + b \)의 최댓값 \( M \), 최솟값 \( m \)에 대해 \( M – m \)의 값을 구하는 문제.

주어진 함수의 증감 조건을 만족시키기 위한 \( a, b \)의 범위를 분석하고, 그 합 \( a + b \)의 최대값과 최소값의 차를 구하라.

  1. 도함수 계산

    좌우 함수 각각 도함수:

    \( f'(x) =
    \begin{cases}
    – x^2 – 2a x – b & (x 0)
    \end{cases} \)

  2. 접합조건 적용

    \( x = -1 \)에서 좌우 도함수가 연속이므로

    \( f'(-1) = 0 \Rightarrow -1 + 2a – b = 0 \Rightarrow b = 2a – 1 \)

  3. 증감 조건 적용
    • \( (-\infty, -1) \)에서 감소: \( f'(x) < 0 \)
      → \( f'(x) = -(x + 1)(x + 2a – 1) \)
      → \( -2a + 1 \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{1}{2} \)
    • \( (-1, \infty) \)에서 증가: \( f'(x) > 0 \)
      → \( f'(x) = (x + a)^2 – a^2 – 2a + 1 \)
      → \( -a \geq 0 \) 또는 \( -a < 0 \)인 경우 각각의 조건 계산
      → 최종적으로 \( -1 – \sqrt{2} \leq a \leq \frac{1}{2} \)
  4. \( a + b = a + (2a -1) = 3a – 1 \)의 최대/최소
    • 최대: \( a = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2} + (2 \cdot \frac{1}{2} – 1) = \frac{1}{2} \)
    • 최소: \( a = -1 – \sqrt{2} \Rightarrow a + b = 3(-1 – \sqrt{2}) -1 = -4 – 3\sqrt{2} \)

\( M – m = \frac{1}{2} – (-4 – 3\sqrt{2}) = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \)

✅ 정답: ③ \( \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \)

🧠 Skill: 도함수의 부호로 증가/감소 조건 설정

💡 Tip: 분할정의 함수의 도함수 연속성과 부호를 조건별로 나눠 해석