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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

귀납적으로 정의된 수열 \( a_n \):

  • 홀수: \( a_{n+1} = a_n + 1 \)
  • 짝수: \( a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n \)

모든 자연수 \( a_1 \)에 대해 \( a_2 + a_4 = 40 \)을 만족하는 경우를 찾아 \( a_1 \)의 값을 모두 더하라.

모든 자연수 \( a_1 \)에 대해 \( a_2 + a_4 = 40 \) 조건을 만족하는 경우를 찾아 그 합을 구하라.

경우의 수를 나눠 \( a_1 \equiv 0,1,2,3 \mod 4 \) (즉, \( a_1 = 4k, 4k-1, 4k-2, 4k-3 \)) 형태로 분류:

  1. \( a_1 = 4k \)
    \( a_2 = 2k,\, a_3 = k,\, a_4 = k + 1 \Rightarrow a_2 + a_4 = 3k + 1 = 40 \Rightarrow k = 13 \Rightarrow a_1 = 52 \)
  2. \( a_1 = 4k – 1 \)
    \( a_2 = 4k,\, a_3 = 2k,\, a_4 = k \Rightarrow a_2 + a_4 = 5k = 40 \Rightarrow k = 8 \Rightarrow a_1 = 31 \)
  3. \( a_1 = 4k – 2 \)
    \( a_2 = 2k – 1,\, a_3 = 2k,\, a_4 = k \Rightarrow a_2 + a_4 = 3k – 1 = 40 \Rightarrow k = \frac{41}{3} \Rightarrow \) 불가능
  4. \( a_1 = 4k – 3 \)
    \( a_2 = 4k – 2,\, a_3 = 2k – 1,\, a_4 = 2k \Rightarrow a_2 + a_4 = 6k – 2 = 40 \Rightarrow k = 7 \Rightarrow a_1 = 25 \)
  5. \( a_1 = 4k \)
    \( k = 16 \Rightarrow a_1 = 64 \)

만족하는 \( a_1 \): 52, 31, 25, 64

합: 172

✅ 정답: ① 172

🧠 Skill: 수열 조건을 바탕으로 한 분할 귀납 구조

💡 Tip: 귀납 수열은 항별 관계보다 ‘짝홀성 흐름’을 기준으로 식 전개가 더 쉬움