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Action

새로운 함수의 의미 파악에 집중하자. 정의역과 치역에 집중

함수

\( f(x) = \begin{cases}
|3^{x+2} – n| & (x < 0) \\ |\log_2(x+4) – n| & (x \ge 0) \end{cases} \)

에 대해, 방정식 \( f(x) = t \)의 서로 다른 실근의 개수를 \( g(t) \)라 할 때, \( g(t) \)의 최대값이 4가 되도록 하는 자연수 \( n \)의 합을 구하는 문제.

  • 각 구간 \( x < 0 \), \( x \ge 0 \)에서 함수의 그래프가 \( y = t \)와 교차하는 점의 개수를 파악해야 한다.
  • \( g(t) \)의 최대값이 4가 되기 위한 조건은 양 구간에서 각각 2개의 교점이 존재하는 \( n \)을 찾는 것.
  • 조건을 만족하는 모든 자연수 \( n \)의 값을 찾아 합산한다.
  • 구간별 함수 특징:
    • \( x < 0 \): \( y = |3^{x+2} – n| \)
      • 점근선: \( y = n \)
      • 대칭축 기준 \( x = -2 \)
      • 실근 개수가 2개가 되려면 \( 1 \le n < 9 \)
    • \( x \ge 0 \): \( y = |\log_2(x+4) – n| \)
      • 점근선: \( x = -4 \)
      • 대칭축 기준 \( x = 2^n – 4 \)
      • 실근 개수가 2개가 되려면 \( n < 2 \)
  • \( g(t) \)의 최대값이 4가 되기 위한 조건은:
    \( 2 < n < 9 \Rightarrow n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 \)
  • 이들 \( n \)에 대해 \( f(x) = t \)는 서로 다른 실근을 최대 4개 갖는다.
  • 정답: 33 (자연수 \( 3+4+5+6+7+8 = 33 \))
  • Tip: 절댓값 함수에서 교점 개수는 원래 함수와 대칭을 기준으로 변곡지점을 중심으로 판단
  • Skill:
    • 지수함수와 로그함수의 그래프 이동
    • 절댓값 함수에서 실근 개수 판단
    • 점근선 및 대칭 축 활용