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Action

그림을 그리자

다항식 \( 2x^3 – 6x^2 + k = 0 \) 이 서로 다른 양의 실근 2개를 갖기 위한 조건을 만족하는 정수 \( k \)의 개수를 구하는 문제

함수 \( f(x) = 2x^3 – 6x^2 + k \) 의 실근 분포를 극댓값/극솟값으로 분석하여 조건에 맞는 \( k \) 범위를 구한다.

  1. 도함수: \( f'(x) = 6x(x – 2) \Rightarrow \text{극점: } x = 0, x = 2 \)
  2. 극값:
    • \( f(0) = k \) (극댓값)
    • \( f(2) = 8 – 24 + k = -16 + k \) (극솟값)
  3. 조건: 두 양의 실근 → 그래프가 x축을 두 번 양의 실수에서 교차
    • \( \Rightarrow \) 반드시 극댓값 \( > 0 \), 극솟값 \( < 0 \)
    • \( \Rightarrow k > 0 \), \( k – 16 < 0 \Rightarrow k < 16 \)
    • \( \Rightarrow 0 < k < 8 \)
  • 정답: 7개 (정수 \( k = 1 \sim 7 \))
  • Tip: “실근의 개수” 문제는 함수 그래프를 그리고, 도함수와 극값을 통해 해석해야 정확
  • Skill:
    • 함수 극값 분석
    • 함수 그래프 해석
    • 부등식 결합