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Action

n제곱근에서 n이 짝수일 때와 홀수일 때, 근호 안의 수가 양수일 때와 음수일 때를 나누어서 본다

자연수 \( m \geq 2 \) 에 대해 \( m^{12} \) 의 \( n \)제곱근이 정수가 되는 \( n \geq 2 \) 인 자연수의 개수를 \( f(m) \) 이라 할 때,

\( \sum_{m=2}^{9} f(m) \) 의 값을 구하는 문제입니다.

  • \( m^{12} \) 이 어떤 수의 \( n \)제곱꼴이 되려면, \( m^{12} = a^n \) 꼴이 되어야 합니다.
  • 즉, \( m^{12} \) 이 \( n \)제곱수여야 하므로, \( n \)은 12의 약수여야 합니다.
  • 단, \( n \geq 2 \) 인 자연수 중에서 이 조건을 만족하는 \( n \)의 개수를 세어야 합니다.
  • 또한 \( m \) 이 거듭제곱수이면 \( m^{12} \) 는 더 높은 차수의 제곱수로 표현될 수 있기 때문에 가능한 \( n \)이 더 많아집니다.
  1. 각 \( m = 2 \) 부터 \( 9 \) 까지의 경우에 대해 \( m^{12} \) 을 소인수분해한 뒤,
  2. 그 결과가 \( n \)제곱꼴이 되도록 하는 \( n \geq 2 \) 인 자연수의 개수 \( f(m) \) 을 구합니다.
  3. 각 \( f(m) \) 값을 계산:
    • \( f(2) = 5 \)
    • \( f(3) = 5 \)
    • \( f(4) = 7 \)
    • \( f(5) = 5 \)
    • \( f(6) = 5 \)
    • \( f(7) = 5 \)
    • \( f(8) = 8 \)
    • \( f(9) = 7 \)
  4. 모두 더해 최종 답: \( \sum f(m) = 47 \)
  • 정답: ③ 47
  • Tip: \( m^{12} \) 이 \( n \)제곱수라는 것은, 지수 12가 \( n \)으로 나누어떨어지거나, \( m \)이 거듭제곱수여야 가능한 것입니다.
  • Skill:
    • 지수법칙과 제곱근 조건
    • 약수 개수 구하기
    • 거듭제곱수 판단과 조합적 사고력