Action
곡선 \( y = x^3 – x + 2 \) 외부 점 \( (0, 4) \)에서 이 곡선 위의 한 점을 지나는 그 접선의 x절편은?
곡선의 일반접선식을 세우고 외부점을 통과하도록 한 뒤, 그 직선의 x절편을 구한다.
곡선 위의 점: \( (t, t^3 – t + 2) \)
→ 접선의 기울기: \( f'(t) = 3t^2 – 1 \)
접선 방정식:
\( y – (t^3 – t + 2) = (3t^2 – 1)(x – t) \)
이 직선이 \( (0, 4) \)를 지나야 하므로:
\( 4 – (t^3 – t + 2) = (3t^2 – 1)(0 – t) \)
\( \Rightarrow 4 – t^3 + t – 2 = -t(3t^2 – 1) \)
\( \Rightarrow 2 – t^3 + t = -3t^3 + t \)
\( \Rightarrow t^3 = 1 \Rightarrow t = -1 \)
접점: \( (-1, (-1)^3 – (-1) + 2) = (-1, -1 + 1 + 2) = (-1, 2) \)
기울기: \( f'(-1) = 3(-1)^2 – 1 = 2 \)
직선 방정식: \( y – 2 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 4 \)
\( \Rightarrow x \)절편: \( y = 0 \Rightarrow x = -2 \)