Action
수열 \( a_n \)이 다음 조건을 만족한다:
– (가) \( a_{4k} = r^k \)
– (나) \( a_1 < 0 \), 그리고
\[
a_{n+1} =
\begin{cases}
a_n + 3 & (|a_n| < 5) \\
-\frac{1}{2} a_n & (|a_n| \geq 5)
\end{cases}
\]
100 이하 자연수 \( m \) 중 \( |a_m| \geq 5 \)인 개수를 \( p \)라 할 때, \( p + a_1 \)의 값을 구하라.
– 조건 (가)로부터 \( r \)을 유추
– 조건 (나)에 따라 수열을 귀납적으로 계산
– \( |a_m| \geq 5 \)인 항의 개수 \( p \)를 누적
– \( p + a_1 \)을 계산
1. 조건 (가):
\( a_4 = r \), \( a_8 = r^2 \)
한편, 조건 (나)에 따라
– \( a_5 = r + 3 \)
– \( a_6 = r + 6 \Rightarrow |a_6| \geq 5 \Rightarrow a_7 = -\frac{1}{2} a_6 = -\frac{r + 6}{2} \)
– \( a_8 = a_7 + 3 = -\frac{r + 6}{2} + 3 = -\frac{r}{2} \Rightarrow r^2 = -\frac{r}{2} \Rightarrow r = -\frac{1}{2} \)
2. 따라서
\( a_4 = -\frac{1}{2},\quad a_8 = \frac{1}{4},\quad a_{12} = \frac{1}{8},\ \ldots \)
역추적하면
\( a_4 = -\frac{1}{2} \Rightarrow a_3 = -\frac{7}{2} \Rightarrow a_2 = 7 \Rightarrow a_1 = -14 \)
3. 수열 초항부터 일부 확인:
\( a_1 = -14,\quad a_2 = 7,\quad a_3 = -\frac{7}{2},\quad a_4 = -\frac{1}{2},\quad a_5 = \frac{5}{2},\ldots \)
– \( |a_1| \geq 5 \), \( |a_2| \geq 5 \), \( |a_6| = \frac{7}{2} \Rightarrow \) 조건 경계
– 패턴상 \( a_{4k – 2} \)는 주기적으로 \( \geq 5 \)
4. \( a_{4k – 2} \leq 100 \Rightarrow k = 1 \)부터 \( 25 \)까지
→ 총 25개
→ \( a_1 \)도 포함이므로 \( p = 26 \)
→ \( p + a_1 = 26 + (-14) = 12 \)
✅ 정답: ③ 12
🧠 Skill: 조건 분기 수열 해석 및 패턴 귀납
💡 Tip: 귀납 조건이 포함된 수열은 초항 몇 개를 구한 뒤 주기/패턴 규칙성을 찾는 것이 핵심!