Action
삼차함수 \( f(x) \)에 대해
\( g(t) = \int_t^{t+1} f(x)\,dx – \int_0^1 |f(x)|\,dx \)
에서 옳은 명제를 고르시오.
– \( f(x) = x(x – 1)(x – a) \) 로 두고,
– \( g(t) \)의 부호를 구간별로 판단
– 보기 항목의 참/거짓 판단
① ( f(x) = x(x – 1)(x – a) ) 는 삼차함수이며 최고차항 계수는 1
– ( f(0) = 0 ), ( f(1) = 0 ) 만족
명제 ㄱ. ( g(0) = 0 Rightarrow g(-1) < 0 )
– ( g(-1) = int_{-1}^0 f(x),dx – int_0^1 |f(x)|,dx )
– [−1, 0] 구간에서는 ( f(x) < 0 ) 이므로 첫 항은 음수
– [0, 1] 구간은 절댓값이므로 두 번째 항은 양수
– 따라서 ( g(-1) < 0 ): 참 ✅
명제 ㄴ. ( g(-1) > 0 Rightarrow k < -1 )인 해 존재
– ( g(-1) > 0 ) 이려면 ( int_{-1}^0 f(x),dx > int_0^1 |f(x)|,dx )
– 즉, [−1, 0] 구간에서 ( f(x) > 0 )이어야 하므로 ( a < 0 )
– 이 경우 ( f(x) = 0 ) 되는 ( x = k < -1 ) 가능 → 참 ✅
명제 ㄷ. ( g(-1) > 1 Rightarrow g(0) < -1 )
– ( g(0) = int_0^1 f(x),dx – int_0^1 |f(x)|,dx = -2 int_0^1 f(x),dx )
– ( g(-1) > 1 )이면 [−1, 0] 구간에서 ( f(x) )가 크게 양수
– ( g(0) )는 음의 정적분의 두 배 → 작아짐 → 참 ✅
✅ 정답: ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
Skill: 함수 대칭성, 적분의 부호 및 절댓값 영향 분석
Tip: ( int_a^b f(x),dx )와 ( int_a^b |f(x)|,dx )는 부호가 반영되느냐 여부가 본질적 차이!