Action
반원의 호 AB 위에 두 점 C, D가 있고,
\( \overline{CE} = 4 \), \( \overline{ED} = 3\sqrt{2} \), \( \angle CEA = \frac{3\pi}{4} \).
AB의 중점 O를 지나 AD, CO가 점 E에서 만남.
이때 \( \overline{AC} \times \overline{CD} \) 값을 구하라.
– 코사인 법칙으로 \( \overline{CD} \) 길이 계산
– 사인법칙과 각도 정보를 이용해 \( \overline{AC} \) 구하기
– 두 값을 곱해 최종 정답 도출
① 삼각형 △CDE에서
\( CD^2 = CE^2 + ED^2 – 2 \cdot CE \cdot ED \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \)
\( = 16 + 18 – 24 = 10 \Rightarrow CD = \sqrt{10} \)
② 다시 △CDE에서 코사인법칙으로 \( \angle CDE = \theta \) 구함
\( \cos \theta = \frac{ED^2 + CD^2 – CE^2}{2 \cdot ED \cdot CD} = \frac{12}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \)
\( \Rightarrow \sin \theta = \sqrt{1 – \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
③ 사인법칙 in △CDE
\( \frac{AC}{\sin \angle CDE} = 2R \Rightarrow \frac{AC}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot AC \)
④ △ACE에서 \( AE = y \), \( AC = x \)
\( x^2 = y^2 + 16 + 4\sqrt{2}y \quad \text{(①)} \)
⑤ 사인법칙 이용
\( \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{y}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \Rightarrow \sqrt{2}x = \sqrt{5}y \quad \text{(②)} \)
⑥ (①), (②) 식 정리
\( x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}y \Rightarrow x^2 = \frac{5}{2}y^2 \)
대입하면:
\( \frac{5}{2}y^2 = y^2 + 4\sqrt{2}y + 16 \Rightarrow \frac{3}{2}y^2 – 4\sqrt{2}y – 16 = 0 \)
⑦ 이차방정식 풀이
\( y = 4\sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot 4\sqrt{2} = 4\sqrt{5} \)
⑧ 최종 정답
\( AC = 4\sqrt{5},\ CD = \sqrt{10} \Rightarrow AC \cdot CD = 4\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{50} = 20\sqrt{2} \)
✅ 정답: ⑤ \( \boxed{20\sqrt{2}} \)
🧠 Skill: 코사인법칙 + 사인법칙 → 좌표 없이 길이 추론
💡 Tip: 수치값을 직접 구하지 않고 삼각비 관계를 활용해 치환하여 정리한 후, 이차방정식으로 정리하는 방식이 매우 효과적