Action
\( y = x + t \)와 \( y = x^2 \)이 교점 A, B에서 만나고
점 A를 지나며 x축과 평행한 직선과 포물선이 만나는 점을 C라 할 때,
점 B에서 AC에 수선을 내려 그 발을 H라 하면
\( \lim_{t \to 0^+} \frac{AH – CH}{t} \)
의 값을 구하라.
– 교점 A, B 좌표를 구하고
– 점 C와 H 좌표를 설정한 뒤
– \( AH \), \( CH \)를 \( t \)에 대한 식으로 표현하고
– 극한 계산
① 교점:
\( x^2 = x + t \Rightarrow x^2 – x – t = 0 \)
→ 근의 공식: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4t}}{2} \)
→ A: \( \alpha = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2},\ A = (\alpha, \alpha^2) \)
→ B: \( \beta = \frac{1 – \sqrt{1 + 4t}}{2},\ B = (\beta, \beta^2) \)
→ C = (\(\alpha\), 0), H = (\(\beta\), 0)
② 거리 계산:
\( AH = \alpha^2 \), \( CH = \beta^2 \)
→ \( AH – CH = \alpha^2 – \beta^2 = (\alpha – \beta)(\alpha + \beta) \)
③ 극한 계산:
\( \lim_{t \to 0^+} \frac{(\alpha – \beta)(\alpha + \beta)}{t} \)
– \( \alpha + \beta = 1 \), \( \alpha – \beta = \sqrt{1 + 4t} \)
④ 따라서:
\( \frac{(\alpha – \beta)(\alpha + \beta)}{t} = \frac{1 \cdot \sqrt{1 + 4t}}{t} \)
⑤ 테일러 전개로 극한 평가:
\( \sqrt{1 + 4t} \approx 1 + 2t \Rightarrow \frac{ \sqrt{1 + 4t} – 1 }{t} \approx \frac{2t}{t} = 2 \)
→ 극한값은 \( \boxed{2} \)
✅ 정답: ② 2
🧠 Skill: 함수 교점 → 근의 공식 → 대칭점 거리 계산
💡 Tip: 점 좌표를 \( t \)로 치환하고 수치 극한에서 정확한 전개 사용