Action
함수 \( f(x) = -(x – 2)^2 + k \)에 대해,
조건:
\( \sqrt[4]{3^{f(n)}} \) 의 네제곱근 중 실수인 것들의 곱이 -9일 때,
이를 만족하는 자연수 \( n \)의 개수가 2개일 때,
\( k \)의 값을 구하라.
– 네제곱근의 실수 조건과 곱을 통해 \( f(n) \) 값을 유추
– 그에 따라 함수 \( f(x) \)의 식 완성
– \( f(n) \)이 해당 값을 가지는 자연수 \( n \)이 2개가 되도록 \( k \)를 구하기
① 네제곱근의 실수 조건 분석
– 실수 네제곱근: \( \sqrt[4]{3^{f(n)}},\ -\sqrt[4]{3^{f(n)}} \)
– 이 둘의 곱: \( -3^{f(n)/2} \)
문제 조건:
\( -3^{f(n)/2} = -9 \Rightarrow 3^{f(n)/2} = 9 \Rightarrow f(n) = 4 \)
② 함수 \( f(x) = -(x – 2)^2 + k \)에서
\( f(n) = 4 \Rightarrow -(n – 2)^2 + k = 4 \Rightarrow (n – 2)^2 = k – 4 \)
→ 정수의 제곱 = \( k – 4 \)
자연수 \( n \)이 2개가 되려면:
\( (n – 2)^2 = 1 \Rightarrow n = 1, 3 \)
→ 자연수 2개 OK
→ \( k = 1 + 4 = \boxed{5} \)
✅ 정답: ② 5
🧠 Skill: 지수근의 성질 + 포물선 해 개수 조건
💡 Tip: “자연수 \( n \)이 2개” → 포물선 대칭축 기준의 해 개수 조건 분석 필수