Action
수열 \( \{a_n\} \)의 합 \( S_n = \frac{1}{n(n+1)} \)일 때,
\( \sum_{k=1}^{10} (S_k – a_k) \)의 값을 구하라.
\( a_k = S_k – S_{k-1} \) 공식을 이용해
\( S_k – a_k = S_{k-1} \)임을 알아차리고 누적합을 계산하라.
\( a_k = S_k – S_{k-1} \Rightarrow S_k – a_k = S_{k-1} \)
즉,
\( \sum_{k=1}^{10} (S_k – a_k) = \sum_{k=1}^{10} S_{k-1} = \sum_{n=0}^{9} S_n \)
\( S_0 = 0 \) (정의상 0번째 합은 0)
→ 계산:
\( S_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \)
→ 망각합:
\( \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) = 1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)
✅ 정답: ⑤ \( \frac{9}{10} \)
🧠 Skill: 합의 정의 → 항끼리 연결, 망각합 (telescoping)
💡 Tip: \( a_n = S_n – S_{n-1} \) 공식을 알면 \( S – a = S_{n-1} \)로 쉽게 풀림