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Action

등차수열, 등비수열은 쉽다. 새로운 수열은 진득하게 관찰하자

수열 \( a_n \)이 다음 조건을 만족:

  • \( |a_1| = 2 \), \( |a_{n+1}| = 2|a_n| \) → \( |a_n| = 2^n \)
  • \( \sum_{n=1}^{10} a_n = -14 \)

목표: \( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 \) 값을 구하라.

  • 수열 \( a_n \)의 부호를 결정하여 전체 합 -14를 맞춤.
  • 그 후 홀수번째 항의 합 계산.
  1. 절댓값: \( |a_n| = 2^n \)
  2. 등비수열: \( a_n = \pm 2^n \)
  3. 전체 합이 -14가 되기 위해 부호 구성 설정
  4. 해설 기준:
    • \( a_1 = -2 \), \( a_2 = -4 \)
    • \( a_3 \sim a_9 \)은 \( 2^3, 2^4, …, 2^9 \)
  5. \( \sum_{k=3}^{9} a_k = \sum_{k=3}^{9} 2^k = 2^3(2^7 – 1) = 8(128 – 1) = 8 \cdot 127 = 1016 \)
    \( \Rightarrow a_{10} = -1024 \)
    \( \Rightarrow 전체합 = -2 – 4 + 1016 – 1024 = -14 \)
  6. 필요한 항:
    \( a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = -2 + 8 + 32 + 128 + 512 = \boxed{678} \)
  • 정답: 678
  • Tip: 전체 합 조건을 만족시키는 부호 배치를 설정하는 것이 핵심
  • Skill: 등비수열의 절댓값 해석, 부분합 계산